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Lösung: Zehnstellige Zahl

Wir konstruieren die Zahl Ziffer für Ziffer.

Zehnte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 10 wenn sie endet auf eine 0. Also, die zehnte Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 0.

Fünfte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 5 wenn sie endet auf eine 0 oder eine 5. Also, die fünfte Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 5.

Erste Ziffer
Eine Zahl ist immer teilbar durch 1. Wir wissen also nichts über die erste Ziffer.

Zweite Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 2 wenn es gerade ist, also wenn sie endet auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8. Die 0 ist schon benützt worden, also die zweite Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 2, 4, 6 oder 8.

Die vierten, sechsten und achten Ziffern der gesuchten Zahl müssen auch teilbar durch 2 sein, also auch diese Ziffern müssen 2, 4, 6 oder 8 sein. Die ersten, dritten, fünften, siebenten und neunten Ziffern können nur 1, 3, 5, 7 oder 9 sein.

Dritte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 3 wenn die Summe der Ziffern teilbar ist durch 3. Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl (erste und dritte Ziffer sind 1, 3, 5, 7 oder 9, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist teilbar durch 3):

    123    723    147    183    783
    129    729    741    189    789
    321    921    369    381    981
    327    927    963    387    987

Vierte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 4 wenn:

  • die Zahl endet auf eine 0, 4 oder 8 und die vorletzte Ziffer gerade ist, oder
  • die Zahl endet auf eine 2 oder 6 und die vorletzte Ziffer ungerade ist.

Die dritte Ziffer der gesuchten Zahl ist ungerade, also die vierte Ziffer kann nur eine 2 oder 6 sein. Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten vier Ziffern der gesuchten Zahl:

    1236    9216    3692    3812    7892
    1296    9276    9632    3816    7896
    3216    1472    1832    3872    9812
    3276    1476    1836    3876    9816
    7236    7412    1892    7832    9872
    7296    7416    1896    7836    9876

Sechste Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 6 wenn sie teilbar ist durch 2 und 3, also wenn sie endet auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern teilbar ist durch 3. Die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl sind schon teilbar durch 3, also die Summe der vierten, fünften und sechsten Ziffern muss auch teilbar sein durch 3. Hier unten stehen die zwei Möglichkeiten für die vierte, fünfte und sechste Ziffern der gesuchten Zahl (vierte Ziffer ist 2 oder 6, fünfte Ziffer ist 5, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist teilbar durch 3):

    258    654

Kombiniert mit was wir schon wissen über die ersten fünf Ziffern, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten sechs Ziffern der gesuchten Zahl:

    123654    723654    147258    183654    783654
    129654    729654    741258    189654    789654
    321654    921654    369258    381654    981654
    327654    927654    963258    387654    987654

Achte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 8 wenn:

  • die Zahl gebildet aus den letzten zwei Ziffern teilbar ist durch 8 und die drittletzten Ziffer gerade ist, oder
  • die Zahl gebildet aus den letzten zwei Ziffern weniger 4, teilbar ist durch 8 und die drittletzten Ziffer ungerade ist.

Die drittletzten Ziffer ist die sechste Ziffer der gesuchten Zahl, und ist also eine 4 oder 8. Die Zahl gebildet aus der siebenten und achten Zahl muss also teilbar sein durch 8. Außerdem wissen wir das die siebente Ziffer ungerade muss sein. Die möglichen Kombinationen sind:

    16    32    56    72    96

Kombiniert mit was wir schon wissen über die ersten sechs Ziffern, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten acht Ziffern der gesuchten Zahl:

    18365472    74125896
    18965432    78965432
    18965472    98165432
    38165472    98165472
    14725896    98765432

Siebente Ziffer
Die Zahl gebildet aus der ersten sieben Ziffern der gesuchten Zahl muss teilbar sein durch 7. Von den obenstehenden Zahlen gilt das nur für die Zahl 38165472.

Neunte Ziffer
Für die neunte Ziffer bleibt nur noch die neun übrig. Bemerke dass jede Zahl gebildet aus den Ziffern 1 bis 9 teilbar ist durch 9. Eine Zahl ist teilbar durch 9 wenn die Summe der Ziffern teilbar ist durch 9. Die Summe der Ziffern 1 bis 9 ist 45, was teilbar ist durch 9.

Konklusion: die gesuchte Zahl ist 3816547290.



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