Lösung: Zehnstellige Zahl
Wir konstruieren die Zahl Ziffer für Ziffer.
Zehnte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 10 wenn sie endet auf eine 0. Also, die zehnte Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 0.
Fünfte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 5 wenn sie endet auf eine 0 oder eine 5. Also, die fünfte Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 5.
Erste Ziffer
Eine Zahl ist immer teilbar durch 1.
Wir wissen also nichts über die erste Ziffer.
Zweite Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 2 wenn es gerade ist, also wenn sie endet auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8.
Die 0 ist schon benützt worden, also die zweite Ziffer der gesuchten Zahl ist eine 2, 4, 6 oder 8.
Die vierten, sechsten und achten Ziffern der gesuchten Zahl müssen auch teilbar durch 2 sein, also auch diese Ziffern müssen 2, 4, 6 oder 8 sein. Die ersten, dritten, fünften, siebenten und neunten Ziffern können nur 1, 3, 5, 7 oder 9 sein.
Dritte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 3 wenn die Summe der Ziffern teilbar ist durch 3.
Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl
(erste und dritte Ziffer sind 1, 3, 5, 7 oder 9, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist teilbar durch 3):
123 723 147 183 783 129 729 741 189 789 321 921 369 381 981 327 927 963 387 987
Vierte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 4 wenn:
- die Zahl endet auf eine 0, 4 oder 8 und die vorletzte Ziffer gerade ist, oder
- die Zahl endet auf eine 2 oder 6 und die vorletzte Ziffer ungerade ist.
Die dritte Ziffer der gesuchten Zahl ist ungerade, also die vierte Ziffer kann nur eine 2 oder 6 sein. Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten vier Ziffern der gesuchten Zahl:
1236 9216 3692 3812 7892 1296 9276 9632 3816 7896 3216 1472 1832 3872 9812 3276 1476 1836 3876 9816 7236 7412 1892 7832 9872 7296 7416 1896 7836 9876
Sechste Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 6 wenn sie teilbar ist durch 2 und 3, also wenn sie endet auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern teilbar ist durch 3.
Die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl sind schon teilbar durch 3, also die Summe der vierten, fünften und sechsten Ziffern muss auch teilbar sein durch 3.
Hier unten stehen die zwei Möglichkeiten für die vierte, fünfte und sechste Ziffern der gesuchten Zahl
(vierte Ziffer ist 2 oder 6, fünfte Ziffer ist 5, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist teilbar durch 3):
258 654
Kombiniert mit was wir schon wissen über die ersten fünf Ziffern, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten sechs Ziffern der gesuchten Zahl:
123654 723654 147258 183654 783654 129654 729654 741258 189654 789654 321654 921654 369258 381654 981654 327654 927654 963258 387654 987654
Achte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 8 wenn:
- die Zahl gebildet aus den letzten zwei Ziffern teilbar ist durch 8 und die drittletzten Ziffer gerade ist, oder
- die Zahl gebildet aus den letzten zwei Ziffern weniger 4, teilbar ist durch 8 und die drittletzten Ziffer ungerade ist.
Die drittletzten Ziffer ist die sechste Ziffer der gesuchten Zahl, und ist also eine 4 oder 8. Die Zahl gebildet aus der siebenten und achten Zahl muss also teilbar sein durch 8. Außerdem wissen wir das die siebente Ziffer ungerade muss sein. Die möglichen Kombinationen sind:
16 32 56 72 96
Kombiniert mit was wir schon wissen über die ersten sechs Ziffern, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten acht Ziffern der gesuchten Zahl:
18365472 74125896 18965432 78965432 18965472 98165432 38165472 98165472 14725896 98765432
Siebente Ziffer
Die Zahl gebildet aus der ersten sieben Ziffern der gesuchten Zahl muss teilbar sein durch 7.
Von den obenstehenden Zahlen gilt das nur für die Zahl 38165472.
Neunte Ziffer
Für die neunte Ziffer bleibt nur noch die neun übrig.
Bemerke dass jede Zahl gebildet aus den Ziffern 1 bis 9 teilbar ist durch 9.
Eine Zahl ist teilbar durch 9 wenn die Summe der Ziffern teilbar ist durch 9.
Die Summe der Ziffern 1 bis 9 ist 45, was teilbar ist durch 9.
Konklusion: die gesuchte Zahl ist 3816547290.
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