Lösung: Zehnstellige Zahl

Wir konstruieren die Zahl Ziffer für Ziffer.

Zehnte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 10, wenn sie auf eine 0 endet. Also ist die zehnte Ziffer der gesuchten Zahl eine 0.

Fünfte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 5, wenn sie auf eine 0 oder eine 5 endet. Also ist die fünfte Ziffer der gesuchten Zahl eine 5.

Erste Ziffer
Eine Zahl ist immer teilbar durch 1. Wir wissen also nichts über die erste Ziffer.

Zweite Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn sie gerade ist, also wenn sie auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8 endet. Die 0 ist schon benützt worden, also ist die zweite Ziffer der gesuchten Zahl eine 2, 4, 6 oder 8.

Die vierten, sechsten und achten Ziffern der gesuchten Zahl müssen auch durch 2 teilbar sein, also müssen auch diese Ziffern 2, 4, 6 oder 8 sein. Die ersten, dritten, fünften, siebten und neunten Ziffern können nur 1, 3, 5, 7 oder 9 sein.

Dritte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 3, wenn die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist. Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl (erste und dritte Ziffer sind 1, 3, 5, 7 oder 9, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar):

    123    723    147    183    783
    129    729    741    189    789
    321    921    369    381    981
    327    927    963    387    987

Vierte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 4, wenn:

• die Zahl auf eine 0, 4 oder 8 endet und die vorletzte Ziffer gerade ist, oder
• die Zahl auf eine 2 oder 6 endet und die vorletzte Ziffer ungerade ist.

Die dritte Ziffer der gesuchten Zahl ist ungerade, also kann die vierte Ziffer nur eine 2 oder 6 sein. Hier unten stehen alle Möglichkeiten für die ersten vier Ziffern der gesuchten Zahl:

    1236    9216    3692    3812    7892
    1296    9276    9632    3816    7896
    3216    1472    1832    3872    9812
    3276    1476    1836    3876    9816
    7236    7412    1892    7832    9872
    7296    7416    1896    7836    9876

Sechste Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 6, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist, also wenn sie auf eine 0, 2, 4, 6 oder 8 endet und die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist. Die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl sind bereits durch 3 teilbar, also muss die Summe der vierten, fünften und sechsten Ziffern auch durch 3 teilbar sein. Hier unten stehen die zwei Möglichkeiten für die vierte, fünfte und sechste Ziffern der gesuchten Zahl (vierte Ziffer ist 2 oder 6, fünfte Ziffer ist 5, zweite Ziffer ist 2, 4, 6 oder 8, und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar):

    258    654

Kombiniert mit dem, was wir schon über die ersten fünf Ziffern wissen, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten sechs Ziffern der gesuchten Zahl:

    123654    723654    147258    183654    783654
    129654    729654    741258    189654    789654
    321654    921654    369258    381654    981654
    327654    927654    963258    387654    987654

Achte Ziffer
Eine Zahl ist teilbar durch 8, wenn:

• die Zahl, gebildet aus den letzten zwei Ziffern, durch 8 teilbar ist und die drittletzte Ziffer gerade ist, oder
• die Zahl, gebildet aus den letzten zwei Ziffern minus 4, durch 8 teilbar ist und die drittletzte Ziffer ungerade ist.

Die drittletzte Ziffer ist die sechste Ziffer der gesuchten Zahl und ist also eine 4 oder 8. Die Zahl, gebildet aus der siebten und achten Ziffer, muss also durch 8 teilbar sein. Außerdem wissen wir, dass die siebte Ziffer ungerade sein muss. Die möglichen Kombinationen sind:

    16    32    56    72    96

Kombiniert mit dem, was wir schon über die ersten sechs Ziffern wissen, liefert das die folgenden Möglichkeiten für die ersten acht Ziffern der gesuchten Zahl:

    18365472    74125896
    18965432    78965432
    18965472    98165432
    38165472    98165472
    14725896    98765432

Siebte Ziffer
Die Zahl, gebildet aus der ersten sieben Ziffern der gesuchten Zahl, muss durch 7 teilbar sein. Von den oben genannten Zahlen gilt dies nur für die Zahl 38165472.

Neunte Ziffer
Für die neunte Ziffer bleibt nur noch die neun übrig. Bemerke, dass jede Zahl, gebildet aus den Ziffern 1 bis 9, durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist teilbar durch 9, wenn die Summe der Ziffern durch 9 teilbar ist. Die Summe der Ziffern 1 bis 9 ist 45, was durch 9 teilbar ist.

Konklusion: Die gesuchte Zahl ist 3816547290.

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