Oplossing van: Smeltende Sneeuwballen

Laat r₁(t) de straal zijn van de kleinste bal (bal 1) op tijdstip t. Laat r₂(t) de straal zijn van de grootste bal (bal 2) op tijdstip t.

Laat r₀ = r₁(0) zijn.

Dan geldt: r₂(0) = 2 × r₀. De oppervlakte A_i(t) van bal i op tijdstip t is gelijk aan 4 × π × (r_i(t))². De inhoud V_i(t) van bal i op tijdstip t is gelijk aan ⁴⁄₃ × π × (r_i(t))³.

Er geldt: d V_i(t) / dt = - k × A_i(t).

Dit leidt tot:

d (⁴⁄₃ × π × (r_i(t))³) / dt = - k × (4 × π × (r_i(t))²)

voor een zekere smeltfactor k, onafhankelijk van i. Dit levert op:

4 × π × (r_i(t))² × (d r_i(t) / dt) = - k × 4 × π × (r_i(t))²

Dus hebben we:

(d r_i(t) / dt) = - k

en

r_i(t) = r_i(0) - k × t.

Stel dat op tijdstip t_h het halve volume van bal 2 is gesmolten. Dan geldt:

⁴⁄₃ × π × (r₂(t_h))³ = ½ × ⁴⁄₃ × π × (r₂(0))³

Dit kan vereenvoudigd worden tot:

(r₂(t_h))³ = ½ × (r₂(0))³

en

(2 × r₀ - k × t_h)³ = 4 × (r₀)³.

Dan geldt: k × t_h = 2 × r₀ - 4^(⅓) × r₀.

Op tijdstip t_h geldt voor de kleine bal (bal 1):

r₁(t_h) = r₀ - k × t_h = r₀ - (2 × r₀ - 4^(⅓) × r₀) = 4^(⅓) × r₀ - r₀ = (4^(⅓) - 1) × r₀.

Het volume van bal 1 is op dat moment:

V₁(t) = ⁴⁄₃ × π × (r₁(t))³ = ⁴⁄₃ × π × ((4^(⅓) - 1) × r₀)³ = (⁴⁄₃ × π × r₀³) × (4^(⅓) - 1)³ = (4^(⅓) - 1)³ × V₁(0).

Het volume van bal 1 op dat moment is dus nog maar (4^(⅓) - 1)³ × 100% van het oorspronkelijke volume. Dit is ongeveer 20,27%.

Terug naar de puzzel