Antwoord op: Smeltende Sneeuwballen

Laat r₁(t) de straal zijn van de kleinste bal (bal 1) op tijdstip t.

Laat r₂(t) de straal zijn van de grootste bal (bal 2) op tijdstip t.

Laat r₀ = r₁(0) zijn.

Dan geldt r₂(0) = 2 × r₀. De oppervlakte A_i(t) van bal i op tijdstip t is gelijk aan

4 × π × (r_i(t))²

waarbij de inhoud V_i(t) van bal i op tijdstip t gelijk is aan

4/3 × π × (r_i(t))³.

Er geldt:

d V_i(t) / dt = - k × A_i(t)

dus

d [4/3 × π × (r_i(t))³] / dt = - k × [4 × π × (r_i(t))²]

voor een zekere smeltfactor k onafhankelijk van i. Dit levert op:

4 × π × (r_i(t))² × [d r_i(t) / dt] = - k × 4 × π × (r_i(t))²

dus

[d r_i(t) / dt] = - k

dus

r_i(t) = r_i(0) - k × t.

Stel dat op tijdstip t_h het halve volume van bal 2 is gesmolten, dus

4/3 × π × (r₂(t_h))³ = 0,5 × 4/3 × π × (r₂(0))³

dus

(r₂(t_h))³ = 0,5 × (r₂(0))³

dus

(2 × r₀ - k × t_h)³ = 4 × (r₀)³.

Dan geldt:

k × t_h = 2 × r₀ - 4^(1/3) × r₀.

Op dat tijdstip t_h geldt voor de kleine bal (bal 1):

r₁(t_h) = r₀ - k × t_h

= r₀ - (2 × r₀ - 4^(1/3) × r₀)

= 4^(1/3) × r₀ - r₀

= (4^(1/3) - 1) × r₀.

Het volume van bal 1 is op dat moment:

V₁(t) = 4/3 × π × (r₁(t))³

= 4/3 × π × ( (4^(1/3) - 1) × r₀)³

= (4/3 × π × r₀³) × (4^(1/3) - 1)³

= (4^(1/3) - 1)³ × V₁(0)

dus het volume van bal 1 op dat moment is nog maar (4^(1/3) - 1)³ × 100% van het oorspronkelijke volume. Dit is ongeveer 20,27%.

Terug naar de puzzel