Antwoord op: Hoekige Driehoek
Noem de zijden van de driehoek a, b en c, waarbij c = 240 de schuine zijde is. Voor de gezochte a en b moet gelden:
- a en b zijn gehele getallen;
- de omtrek, a + b + c = a + b + 240, is het kwadraat van een geheel getal;
- de oppervlakte, ½ × a × b, is derde macht van een geheel getal.
We bekijken eerst de omtrek. De driehoek heeft de minimale omtrek als a = 1 en b = √(c² - 1²) = √(240² - 1²) (ongeveer 240). De omtrek is dan ongeveer 480.
De driehoek heeft de maximale omtrek als a en b gelijk zijn: a = b = √(½ × c²) = √(½ × 240²) (ongeveer 169,7). De omtrek is dan ongeveer 579,4.
De enige kwadraten van gehele getallen die tussen 480 en 579,4 liggen zijn 484, 529 en 576.
Nu weten we dat a + b + c gelijk is aan 484, 529 of 576. Bovendien geldt dat a² + b² = c², dus a² + b² = 240² = 57600.
Stel dat a + b + c = 484. Dan b = 244 - a, en als we dat invullen in a² + b² = 57600 krijgen we a² + (244 - a)² = 57600, dus a² - 244 × a + 968 = 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing als a geheel moet zijn.
Stel dat a + b + c = 529. Dan b = 289 - a, en als we dat invullen in a² + b² = 57600 krijgen we a² + (289 - a)² = 57600, dus a² - 289 × a + 12960,5 = 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing als a geheel moet zijn.
Stel dat a + b + c = 576. Dan b = 336 - a, en als we dat invullen in a² + b² = 57600 krijgen we a² + (336 - a)² = 57600, dus a² - 336 × a + 27648 = 0. Deze vergelijking heeft als oplossingen a = 144 (b = 192) en a = 192 (b = 144).
Voor a = 144 en b = 192 is de oppervlakte van de driehoek ½ × 144 × 192 = 13824 = 24³. De oppervlakte is dus de derde macht van een geheel getal.
De zijden van de driehoek zijn dus a = 144, b = 192 en c = 240.
Terug naar de puzzel