Antwoord op: Tien Vragen

We duiden de antwoorden op de tien vragen aan met A1, A2, A3, ..., A10. Er zijn twee gevallen mogelijk:

1. A10 is een geheel getal. Als A10 een getal is, moet het een geheel getal zijn omdat alle andere getallen in de antwoorden gehele getallen zijn en het totaal van deze getallen (A1) ook.
2. A10 is geen getal. In dit geval heeft alleen het antwoord "waar" invloed op de andere antwoorden van de puzzel (vanwege vraag 2: hoeveel vragen in deze puzzel hebben als antwoord "waar"?).

We bekijken eerst het geval dat A10 een geheel getal is.

We kunnen het volgende opmerken:

1. A6 (het aantal vragen met hetzelfde antwoord als deze vraag, inclusief deze vraag) is minstens 1 en hoogstens 6, omdat alleen A1, A2, A4, A6, A8 en A10 een getal zijn.
2. A2 (het aantal vragen met als antwoord "waar") kan geen 0 zijn, omdat A6 volgens (i) minstens 1 is en A6 dan gegarandeerd groter zou zijn dan A2. Dat zou betekenen dat A7 (het antwoord op vraag 6 is groter dan het antwoord op vraag 2) "waar" zou zijn, waardoor A2 dan minstens 1 zou moeten zijn. Verder is A2 hoogstens 4, omdat alleen A3, A5, A7 en A9 "waar" kunnen zijn. A2 is dus minstens 1 en hoogstens 4.
3. Voor A4 (het antwoord op vraag 1 gedeeld door het antwoord op deze vraag) geldt het volgende: A4 = A1 : A4. Dit betekent dat A4 = √A1 of A4 = -√A1.
4. Uit (iii) volgt dat A1 een kwadraat is en dus minstens 0.
5. Omdat 6 van de antwoorden een getal zijn, geldt het volgende voor A8 (het gemiddelde van alle getallen in de antwoorden): A8 = A1 : 6.
6. Uit (v) volgt dat A1 een zesvoud is.
7. Uit (iv) en (vi) samen volgt dat A1 (het totaal van alle getallen in de antwoorden) zowel een kwadraat als een zesvoud is. Gecombineerd met (iii) kunnen we een aantal mogelijke waardes voor A1, A4 en A8 bepalen (uiteraard zijn er oneindig veel waardes mogelijk, maar hieronder staan alleen de kleinste vier mogelijkheden voor A1):

   A1	A8	A4
   totaal	A1 : 6	+/-√A1
   0	0	0
   36	6	6
   36	6	-6
   144	24	12
   144	24	-12
   324	54	18
   324	54	-18

8. Voor A1 (het totaal van alle getallen in de antwoorden) geldt het volgende: A1 = A1 + A2 + A4 + A6 + A8 + A10. Dit betekent dat A2 + A4 + A6 + A8 + A10 = 0. Voor A10 geldt daarom het volgende: A10 = - (A2 + A4 + A6 + A8).
9. We weten dankzij (ii) en (i) al dat zowel A2 als A6 minstens 1 is, en uit (vii) is af te leiden dat A4 + A8 minstens 0 is. De som van A2, A4, A6 en A8 is dus groter dan 0. Gecombineerd met (viii) volgt hieruit dat A10 negatief moet zijn.
10. Omdat A10 volgens (ix) negatief is, is A3 (alle getallen in de antwoorden zijn groter dan 0) "niet waar".
11. Omdat A10 volgens (ix) negatief is, kan in combinatie met (i) afgeleid worden dat A6 (het aantal vragen met hetzelfde antwoord als deze vraag, inclusief deze vraag) hoogstens 5 is. Zoals in de tabel van (vii) te zien is, zijn dan ook A1, A4 en A8 ongelijk aan A6. Dat betekent dat A6 alleen gelijk kan zijn aan zichzelf en aan A2, en dus alleen maar 1 of 2 kan zijn. Bovendien geldt dat A6 alleen 2 kan zijn in het geval dat A2 ook 2 is.
12. Omdat A3 volgens (x) "niet waar" is, kan A2 (het aantal vragen met als antwoord "waar") hoogstens 3 zijn (als de antwoorden A5, A7 en A9 allemaal "waar" zijn). A2 kan echter alleen 3 zijn als A7 (het antwoord op vraag 6 is groter dan het antwoord op vraag 2) "waar" is, wat zou betekenen dat A6 dan minstens 4 moet zijn, wat niet kan volgens (xi). A2 is dus 1 of 2.
13. Het is onmogelijk dat A2 en A6 beide 1 zijn. Als A6 (het aantal vragen met hetzelfde antwoord als deze vraag, inclusief deze vraag) 1 is, dan mag immers geen van de andere antwoorden 1 zijn.
14. Uit (xi), (xii) en (xiii) volgt dat er slechts twee mogelijke combinaties van A2 en A6 overblijven:
    • A2 = 2 en A6 = 1
    • A2 = 2 en A6 = 2
15. Uit (xiv) volgt dat A7 (het antwoord op vraag 6 is groter dan het antwoord op vraag 2) "niet waar" is.

Van de twee mogelijke combinaties voor A2 en A6, zoals bepaald in (xiv), bekijken we eerst het geval A2 = 2 en A6 = 1. We combineren deze waardes met de kleinste mogelijkheden voor A1, A4 en A8 uit (vii) en de berekening van A10 uit (viii). We moeten nu controleren of A2 overeenkomt met het aantal antwoorden dat "waar" is. Op basis van (x) en (xv) is al bekend dat A3 en A7 "niet waar" zijn. Het gaat er dus om of A5 en A9 beide "waar" zijn, zodat de waarde van A2 correct is.

In de bovenstaande tabel is te zien dat in geen van de gevallen A9 "waar" is, en het is duidelijk dat dit voor grotere waardes van A1 ook niet het geval is. Met deze waardes voor A2 en A6 is er dus geen oplossing.

Nu bekijken we het geval A2 = 2 en A6 = 2. Weer moeten A5 en A9 beide "waar" zijn om de waarde van A2 correct te laten zijn.

In de tabel is te zien dat er een oplossing is waarin alle antwoorden een correcte waarde hebben. Bovendien is het duidelijk dat dit de enige oplossing is, want voor grotere waardes van A1 zal A9 nooit "waar" kunnen zijn.

Op een vergelijkbare manier is af te leiden dat er geen enkele oplossing mogelijk is voor het geval dat A10 geen getal is.

Conclusie: de antwoorden op de tien vragen zijn als volgt:

• Vraag 1: 144
• Vraag 2: 2
• Vraag 3: niet waar
• Vraag 4: -12
• Vraag 5: waar
• Vraag 6: 2
• Vraag 7: niet waar
• Vraag 8: 24
• Vraag 9: waar
• Vraag 10: -16

Terug naar de puzzel