Oplossing van: Wetende Wiskundigen
Laat a gelijk zijn aan m × n en b gelijk zijn aan m + n.
Uit de eerste opmerking (Gauss: "Ik heb geen idee wat jouw som is, Euler.") volgt dat a op meer dan één manier te ontbinden is in factoren. Als Gauss bijvoorbeeld het getal 21 zou hebben, wat het product is van de priemgetallen 3 en 7, dan zou hij immers meteen weten dat Euler alleen 3 + 7 = 10 als som kan hebben.
Uit de tweede opmerking (Euler: "Je vertelt me niks nieuws, Gauss. Ik wist al dat je dat niet wist.") volgt dat b niet als de som van twee priemgetallen geschreven kan worden. Dat impliceert onder meer dat b niet even is, want een even getal kan altijd als de som van twee priemgetallen worden geschreven. Als Euler bijvoorbeeld het getal 10 zou hebben, wat gelijk is aan 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 of 5 + 5, dan had Euler er immers niet zeker van kunnen zijn dat Gauss zijn som niet kon bepalen, omdat Gauss wellicht het getal 3 × 7 = 21 zou kunnen hebben en meteen Eulers getal had kunnen bepalen.
Dus blijft er nog maar een beperkt aantal mogelijkheden over voor het getal b dat Euler heeft gekregen: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 (voor al deze getallen geldt dat als je er 2 van aftrekt er een niet-priemgetal overblijft; alle even getallen vallen immers al af, en alle oneven getallen die je wel kunt schrijven als een priemgetal plus 2 vallen ook af). Gauss weet dan dus dat Euler één van deze getallen heeft. Er zijn 659 combinaties van m en n waarmee deze getallen als som kunnen worden samengesteld. Bij al deze combinaties horen uiteraard producten.
Als voorbeeld staan hieronder de gevallen b = 11 en b = 17 uitgewerkt. We veronderstellen voor het gemak even dat m kleiner is dan n:
|
|
Uit de derde opmerking (Gauss: "Aha! Maar dan weet ik wat jouw som moet zijn, Euler!") kunnen we concluderen dat het getal a dat Gauss heeft blijkbaar maar bij één waarde voor b voorkomt. Want als Gauss bijvoorbeeld het getal 30 zou hebben, dan zou hij niet kunnen bepalen of Euler het getal 11 of 17 heeft. Zoals hierboven te zien is, komt de waarde a = 30 namelijk zowel bij b = 11 als bij b = 17 voor (zowel 5 × 6 als 2 × 15 is gelijk aan 30).
Voor de gevallen b = 11 en b = 17 valt de waarde 30 voor a dus af. Voor het geval b = 17 vallen ook de volgende waardes voor a af:
- 42 (ook 2 × 21 = 42 en 2 + 21 = 23 komen voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 60 (ook 3 × 20 = 60 en 3 + 20 = 23 komen voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 66 (ook 2 × 33 = 66 en 2 + 33 = 35 komen voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 70 (ook 2 × 35 = 70 en 2 + 35 = 37 komen voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 72 (ook 3 × 24 = 72 en 3 + 24 = 27 komen voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b).
In totaal blijven er van de 659 producten bij alle mogelijke waardes voor b slechts 336 producten over die maar één keer voorkomen. Voor de gevallen b = 11 en b = 17 blijven de volgende mogelijkheden over:
|
|
Uit de vierde opmerking (Euler: "En nu weet ik ook wat jouw product is, Gauss!") kunnen we concluderen dat bij het getal b dat Euler heeft blijkbaar maar één waarde voor a mogelijk is. Als Gauss bijvoorbeeld het getal 24 zou hebben, dan zou Gauss wel kunnen bepalen dat Euler het getal 11 heeft, maar zou Euler niet kunnen bepalen of Gauss het getal 18, 24 of 28 heeft. Zoals hierboven te zien is, komt bij b = 17 maar één mogelijke a voor. Dit blijkt ook de enige waarde voor b te zijn waarvoor dit geldt.
Conclusie: de gezochte getallen m en n zijn 4 en 13.
Terug naar de puzzel