Lösung: Lehnende Leiter
Die untenstehende Figur rechts stellt die Lage dar.
Sei a die Länge der Linie AD und b die Länge der Linie CF.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt, dass:
a : 1 = 1 : b
Also gilt:
ab = 1.
Laut des pythagoreischen Lehrsatzes gilt, dass
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2
Also:
(a + 1)2 + (1 + b)2 = 42
was wir umschreiben können zu:
a2 + 2 + b2 + 2(a + b) = 16.
Wenn wir jetzt Gebrauch machen von der Tatsache ab=1, also 2=2ab, dann bekommen wir:
a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) = 16
was wir umschreiben können zu:
(a + b)2 + 2×(a + b) - 16 = 0.
Weil wir wissen, dass a+b größer ist als 0, können wir mit Hilfe der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel) finden, dass
a + b = √17 - 1.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt, dass:
a : 1 = 1 : b
Also gilt:
b = 1 / a.
Wir wissen jetzt, dass
a + 1/a = √17 - 1
also:
a2 + ( 1 - √17 ) × a + 1 = 0.
Wir wissen, dass a größer ist als 0, und deswegen können wir mit Hilfe der a-b-c-Formel die folgenden zwei Lösungen für a finden:
1/2×( √17 - 1 + √( ( 1 - √17 )2 - 4 ) ) ≈ 2,76
1/2×( √17 - 1 - √( ( 1 - √17 )2 - 4 ) ) ≈ 0,36
Die Leiter kommt noch 1 Meter höher, also circa 3,76 oder 1,36 Meter. In der Figur können wir aber sehen, dass nur die Antwort 3,76 korrekt sein kann.
Konklusion: Die Leiter berührt die Mauer auf circa 3,76 Metern.
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