Lösung: Freitag, der Dreizehnte
In einer Periode von 400 Jahren wird der Zyklus der Wochentage einmal durchlaufen (diese Periode kann nicht kurzer sein wegen der sonderbaren Schaltjahrregel; die Periode muss nicht länger sein, weil eine Periode von 400 Jahren, 400 × 365 = 146000 normale Tage hat plus 100 - 3 = 97 Schalttage, was insgesamt 146097 Tage ergibt, was durch 7 teilbar ist). Wir brauchen also nur die Chance in einer Periode von 400 Jahren zu betrachten, zum Beispiel die Jahre 2001 bis 2400.
Wenn in einem normalen Jahr der 13. Januar auf Wochentag x fällt, dann ist die Verteilung der dreizehnten Tage über die Tage der Woche wie folgt:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2
Wenn in einem Schaltjahr der 13. Januar auf Wochentag x fällt, dann ist die Verteilung der dreizehnten Tage über die Tage der Woche wie folgt:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
3 1 1 2 2 1 2
Für die darauffolgenden Jahre verschiebt sich diese Verteilung immer zyklisch um eine Stelle nach rechts für normale Jahre und um zwei Stellen nach rechts für Schaltjahre.
Für drei normale Jahre, gefolgt von einem Schaltjahr, können wir jetzt die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2 (normales Jahr, nicht verschoben)
2 2 1 1 3 1 2 (normales Jahr, 1 Stelle nach rechts verschoben)
2 2 2 1 1 3 1 (normales Jahr, 2 Stellen nach rechts verschoben)
+ 2 1 2 3 1 1 2 (Schaltjahr, 3 Stellen nach rechts verschoben)
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8 6 6 8 6 7 7 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, nicht verschoben)
Für vier normale Jahre finden wir:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
2 1 1 3 1 2 2 (normales Jahr, nicht verschoben)
2 2 1 1 3 1 2 (normales Jahr, 1 Stelle nach rechts verschoben)
2 2 2 1 1 3 1 (normales Jahr, 2 Stellen nach rechts verschoben)
+ 1 2 2 2 1 1 3 (normales Jahr, 3 Stellen nach rechts verschoben)
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7 7 6 7 6 7 8 (4 normale Jahre, nicht verschoben)
In vier Jahren verschieben sich die letzten zwei Verteilungen zyklisch um 5 Stellen nach rechts. Für eine Periode von 16 Jahren mit 4 Schaltjahren finden wir deshalb:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
8 6 6 8 6 7 7 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, nicht verschoben)
6 8 6 7 7 8 6 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, 5 Stellen nach rechts verschoben)
6 7 7 8 6 6 8 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, 10 Stellen nach rechts verschoben)
+ 7 8 6 6 8 6 7 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, 15 Stellen nach rechts verschoben)
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27 29 25 29 27 27 28 (16 normale Jahre und 4 Schaltjahre, nicht verschoben)
Für eine Periode von 100 Jahren mit 24 Schaltjahren (die Perioden 2001-2100, 2101-2200 und 2201-2300) können wir jetzt die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
27 29 25 29 27 27 28 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, nicht verschoben)
29 25 29 27 27 28 27 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 20 Stellen nach rechts verschoben)
25 29 27 27 28 27 29 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 40 Stellen nach rechts verschoben)
29 27 27 28 27 29 25 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 60 Stellen nach rechts verschoben)
27 27 28 27 29 25 29 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 80 Stellen nach rechts verschoben)
27 28 27 29 25 29 27 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 100 Stellen nach rechts verschoben)
+ 8 7 7 6 7 6 7 (4 normale Jahre, 120 Stellen nach rechts verschoben)
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172 172 170 173 170 171 172 (100 Jahre mit 24 Schaltjahren, nicht verschoben)
Für eine Periode von 100 Jahren mit 25 Schaltjahren (die Periode 2301-2400) können wir auch die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
27 29 25 29 27 27 28 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, nicht verschoben)
29 25 29 27 27 28 27 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 20 Stellen nach rechts verschoben)
25 29 27 27 28 27 29 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 40 Stellen nach rechts verschoben)
29 27 27 28 27 29 25 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 60 Stellen nach rechts verschoben)
27 27 28 27 29 25 29 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 80 Stellen nach rechts verschoben)
27 28 27 29 25 29 27 (16 Jahre mit 4 Schaltjahren, 100 Stellen nach rechts verschoben)
+ 7 8 6 6 8 6 7 (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, 120 Stellen nach rechts verschoben)
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171 173 169 173 171 171 172 (100 Jahre mit 25 Schaltjahren, nicht verschoben)
Jetzt können wir die Verteilung der dreizehnten Tage für die Periode von 2001 bis 2400 berechnen:
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
172 172 170 173 170 171 172 (100 Jahre mit 24 Schaltjahren, nicht verschoben)
170 173 170 171 172 172 172 (100 Jahre mit 24 Schaltjahren, 124 Stellen nach rechts verschoben)
170 171 172 172 172 170 173 (100 Jahre mit 24 Schaltjahren, 248 Stellen nach rechts verschoben)
+ 172 171 173 169 173 171 171 (100 Jahre mit 25 Schaltjahren, 372 Stellen nach rechts verschoben)
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684 687 685 685 687 684 688 (400 Jahre, nicht verschoben)
Weil der 13. Januar 2001 (x in die Verteilung) auf einen Samstag fällt, finden wir die folgende Verteilung der dreizehnten Tage über die Tage der Woche:
| Samstag: | 684/4800 |
| Sonntag: | 687/4800 |
| Montag: | 685/4800 |
| Dienstag: | 685/4800 |
| Mittwoch: | 687/4800 |
| Donnerstag: | 684/4800 |
| Freitag: | 688/4800 |
Konklusion: Die Chance, dass der dreizehnte eines Monats ein Freitag ist, ist am größten.
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