Lösung: Winkliges Dreieck

Nennen wir die Seiten des Dreiecks a, b und c, wobei c = 240 die Hypotenuse ist. Für die gesuchten a und b muss gelten:

• a und b sind ganze Zahlen;
• der Umfang, a + b + c = a + b + 240, ist das Quadrat einer ganzen Zahl;
• die Fläche, ½ × a × b, ist die dritte Potenz einer ganzen Zahl.

Zuerst betrachten wir den Umfang. Das Dreieck hat den minimalen Umfang, wenn a = 1 und b = √(c² - 1²) = √(240² - 1²) (ungefähr 240). Der Umfang beträgt dann ungefähr 480.

Das Dreieck hat den maximalen Umfang, wenn a und b gleich sind: a = b = √(½ × c²) = √(½ × 240²) (ungefähr 169,7). Der Umfang beträgt dann ungefähr 579,4.

Die einzigen Quadrate von ganzen Zahlen, die zwischen 480 und 579,4 liegen, sind 484, 529 und 576.

Jetzt wissen wir, dass a + b + c gleich 484, 529 oder 576 ist. Außerdem gilt, dass a² + b² = c², also a² + b² = 240² = 57600.

Angenommen, a + b + c = 484. Dann ist b = 244 - a, und wenn wir das in a² + b² = 57600 einsetzen, erhalten wir a² + (244 - a)² = 57600, also a² - 244 × a + 968 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung, wenn a ganzzahlig sein muss.

Angenommen, a + b + c = 529. Dann ist b = 289 - a, und wenn wir das in a² + b² = 57600 einsetzen, erhalten wir a² + (289 - a)² = 57600, also a² - 289 × a + 12960,5 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung, wenn a ganzzahlig sein muss.

Angenommen, a + b + c = 576. Dann ist b = 336 - a, und wenn wir das in a² + b² = 57600 einsetzen, erhalten wir a² + (336 - a)² = 57600, also a² - 336 × a + 27648 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen a = 144 (b = 192) und a = 192 (b = 144).

Für a = 144 und b = 192 beträgt die Fläche des Dreiecks ½ × 144 × 192 = 13824 = 24³. Die Fläche ist also die dritte Potenz einer ganzen Zahl.

Die Seiten des Dreiecks sind also a = 144, b = 192 und c = 240.

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