Lösung: Zehn Fragen

Wir bezeichnen die Antworten auf die zehn Fragen mit A1, A2, A3, ..., A10. Es gibt zwei mögliche Fälle:

1. A10 ist eine ganze Zahl. Wenn A10 eine Zahl ist, muss es eine ganze Zahl sein, da alle anderen Zahlen in den Antworten ganze Zahlen sind und die Summe dieser Zahlen (A1) ebenfalls.
2. A10 ist keine Zahl. In diesem Fall hat nur die Antwort "wahr" Einfluss auf die anderen Antworten des Rätsels (wegen Frage 2: Wie viele Fragen in diesem Rätsel haben als Antwort "wahr"?).

Wir betrachten zuerst den Fall, dass A10 eine ganze Zahl ist.

Wir können Folgendes feststellen:

1. A6 (die Anzahl der Fragen mit der gleichen Antwort wie diese Frage, einschließlich dieser Frage) ist mindestens 1 und höchstens 6, da nur A1, A2, A4, A6, A8 und A10 eine Zahl sind.
2. A2 (die Anzahl der Fragen mit der Antwort "wahr") kann nicht 0 sein, da A6 gemäß (i) mindestens 1 ist und A6 dann garantiert größer als A2 wäre. Das würde bedeuten, dass A7 (die Antwort auf Frage 6 ist größer als die Antwort auf Frage 2) "wahr" wäre, wodurch A2 dann mindestens 1 sein müsste. Außerdem ist A2 höchstens 4, da nur A3, A5, A7 und A9 "wahr" sein können. A2 ist also mindestens 1 und höchstens 4.
3. Für A4 (die Antwort auf Frage 1 geteilt durch die Antwort auf diese Frage) gilt Folgendes: A4 = A1 : A4. Das bedeutet, dass A4 = √A1 oder A4 = -√A1.
4. Aus (iii) folgt, dass A1 ein Quadrat ist und somit mindestens 0.
5. Da 6 der Antworten eine Zahl sind, gilt Folgendes für A8 (den Durchschnitt aller Zahlen in den Antworten): A8 = A1 : 6.
6. Aus (v) folgt, dass A1 ein Vielfaches von 6 ist.
7. Aus (iv) und (vi) zusammen folgt, dass A1 (die Summe aller Zahlen in den Antworten) sowohl ein Quadrat als auch ein Vielfaches von 6 ist. Kombiniert mit (iii) können wir eine Reihe möglicher Werte für A1, A4 und A8 bestimmen (natürlich sind unendlich viele Werte möglich, aber hier sind nur die vier kleinsten Möglichkeiten für A1 aufgeführt):

   A1	A8	A4
   Summe	A1 : 6	+/-√A1
   0	0	0
   36	6	6
   36	6	-6
   144	24	12
   144	24	-12
   324	54	18
   324	54	-18

8. Für A1 (die Summe aller Zahlen in den Antworten) gilt Folgendes: A1 = A1 + A2 + A4 + A6 + A8 + A10. Das bedeutet, dass A2 + A4 + A6 + A8 + A10 = 0. Daher gilt für A10: A10 = - (A2 + A4 + A6 + A8).
9. Wir wissen bereits dank (ii) und (i), dass sowohl A2 als auch A6 mindestens 1 sind, und aus (vii) lässt sich ableiten, dass A4 + A8 mindestens 0 ist. Die Summe von A2, A4, A6 und A8 ist also größer als 0. Kombiniert mit (viii) folgt daraus, dass A10 negativ sein muss.
10. Da A10 gemäß (ix) negativ ist, ist A3 (alle Zahlen in den Antworten sind größer als 0) "nicht wahr".
11. Da A10 gemäß (ix) negativ ist, kann in Kombination mit (i) abgeleitet werden, dass A6 (die Anzahl der Fragen mit der gleichen Antwort wie diese Frage, einschließlich dieser Frage) höchstens 5 ist. Wie in der Tabelle von (vii) zu sehen ist, sind dann auch A1, A4 und A8 ungleich A6. Das bedeutet, dass A6 nur gleich sich selbst und A2 sein kann und somit nur 1 oder 2 sein kann. Außerdem gilt, dass A6 nur 2 sein kann, wenn A2 auch 2 ist.
12. Da A3 gemäß (x) "nicht wahr" ist, kann A2 (die Anzahl der Fragen mit der Antwort "wahr") höchstens 3 sein (wenn die Antworten A5, A7 und A9 alle "wahr" sind). A2 kann jedoch nur 3 sein, wenn A7 (die Antwort auf Frage 6 ist größer als die Antwort auf Frage 2) "wahr" ist, was bedeuten würde, dass A6 dann mindestens 4 sein müsste, was gemäß (xi) nicht möglich ist. A2 ist also 1 oder 2.
13. Es ist unmöglich, dass A2 und A6 beide 1 sind. Wenn A6 (die Anzahl der Fragen mit der gleichen Antwort wie diese Frage, einschließlich dieser Frage) 1 ist, dann darf keine der anderen Antworten 1 sein.
14. Aus (xi), (xii) und (xiii) folgt, dass nur zwei mögliche Kombinationen von A2 und A6 übrigbleiben:
    • A2 = 2 und A6 = 1
    • A2 = 2 und A6 = 2
15. Aus (xiv) folgt, dass A7 (die Antwort auf Frage 6 ist größer als die Antwort auf Frage 2) "nicht wahr" ist.

Von den beiden möglichen Kombinationen für A2 und A6, wie in (xiv) bestimmt, betrachten wir zuerst den Fall A2 = 2 und A6 = 1. Wir kombinieren diese Werte mit den kleinsten Möglichkeiten für A1, A4 und A8 aus (vii) und der Berechnung von A10 aus (viii). Wir müssen nun überprüfen, ob A2 mit der Anzahl der Antworten übereinstimmt, die "wahr" sind. Aufgrund von (x) und (xv) ist bereits bekannt, dass A3 und A7 "nicht wahr" sind. Es geht also darum, ob A5 und A9 beide "wahr" sind, damit der Wert von A2 korrekt ist.

In der obigen Tabelle ist zu sehen, dass in keinem der Fälle A9 "wahr" ist, und es ist offensichtlich, dass dies auch für größere Werte von A1 nicht der Fall ist. Mit diesen Werten für A2 und A6 gibt es also keine Lösung.

Nun betrachten wir den Fall A2 = 2 und A6 = 2. Wieder müssen A5 und A9 beide "wahr" sein, um den Wert von A2 korrekt zu machen.

In der Tabelle ist zu sehen, dass es eine Lösung gibt, in der alle Antworten einen korrekten Wert haben. Darüber hinaus ist klar, dass dies die einzige Lösung ist, denn für größere Werte von A1 wird A9 niemals "wahr" sein können.

Auf ähnliche Weise lässt sich ableiten, dass es keine Lösung für den Fall gibt, dass A10 keine Zahl ist.

Fazit: Die Antworten auf die zehn Fragen sind wie folgt:

• Frage 1: 144
• Frage 2: 2
• Frage 3: nicht wahr
• Frage 4: -12
• Frage 5: wahr
• Frage 6: 2
• Frage 7: nicht wahr
• Frage 8: 24
• Frage 9: wahr
• Frage 10: -16

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