Lösung: Meisterliche Mathematiker
Sei a das Produkt m × n und sei b die Summe m + n.
Aus der ersten Aussage (Gauss: "Ich habe keine Ahnung, was deine Summe ist, Euler.") folgt, dass a auf mehr als eine Weise in Faktoren zerlegt werden kann. Wenn Gauss zum Beispiel die Zahl 21 hätte, die das Produkt der Primzahlen 3 und 7 ist, dann würde er sofort wissen, dass Euler nur 3 + 7 = 10 als Summe haben konnte.
Aus der zweiten Aussage (Euler: "Du erzählst mir nichts Neues, Gauss. Ich wusste bereits, dass du das nicht wusstest.") folgt, dass b sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Das bedeutet auch, dass b nicht gerade ist, weil eine gerade Zahl sich immer als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Wenn zum Beispiel Euler die Zahl 10 hätte, die sich darstellen lässt als 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 oder 5 + 5, dann hätte Euler sich nicht sicher sein können, dass Gauss seine Summe nicht herausfinden konnte, weil Gauss vielleicht die Zahl 3 × 7 = 21 haben könnte und sofort die Zahl von Euler herausfinden könnte.
Es bleibt also nur eine begrenzte Anzahl von Möglichkeiten für die Zahl b, die Euler erhalten hat: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 (für all diese Zahlen gilt, dass wenn man 2 davon abzieht, eine Nicht-Primzahl übrig bleibt; alle geraden Zahlen machen nicht mit, und alle ungeraden Zahlen, die man als eine Primzahl plus 2 schreiben kann, machen auch nicht mit). Gauss weiß also, dass Euler eine dieser Zahlen hat. Es gibt 659 Kombinationen von m und n, mit denen diese Zahlen als Summe hergestellt werden können. Zu all diesen Kombinationen gehören natürlich auch Produkte.
Beispielsweise haben wir hier die Fälle b = 11 und b = 17 ausgearbeitet. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass m kleiner ist als n:
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Aus der dritten Aussage (Gauss: "Aha! Aber jetzt kenne ich deine Summe, Euler!") schließen wir, dass die Zahl a, die Gauss hat, offenbar nur bei einem Wert für b vorkommt. Zum Beispiel, wenn Gauss die Zahl 30 hätte, dann könnte er nicht herausfinden, ob Euler die Zahl 11 oder 17 hat. Wie man oben sehen kann, kommt der Wert a = 30 nämlich sowohl bei b = 11 als auch bei b = 17 vor (sowohl 5 × 6 als auch 2 × 15 ist gleich 30). Für die Fälle b = 11 und b = 17 kommt der Wert 30 für a also nicht in Frage. Für die Fälle b = 17 kommen auch die folgenden Werte für a nicht in Frage:
- 42 (auch 2 × 21 = 42 und 2 + 21 = 23 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
- 60 (auch 3 × 20 = 60 und 3 + 20 = 23 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
- 66 (auch 2 × 33 = 66 und 2 + 33 = 35 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
- 70 (auch 2 × 35 = 70 und 2 + 35 = 37 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
- 72 (auch 3 × 24 = 72 und 3 + 24 = 27 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor).
Insgesamt bleiben von den 659 Produkten bei allen möglichen Werten für b nur 336 Produkte übrig, die nur einmal vorkommen. Für die Fälle b = 11 und b = 17 bleiben die folgenden Möglichkeiten übrig:
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Aus der vierten Aussage (Euler: "Und jetzt kenne ich auch dein Produkt, Gauss!") schließen wir, dass bei der Zahl b, die Euler hat, offenbar nur ein Wert für a möglich ist. Wenn Gauss zum Beispiel die Zahl 24 hätte, dann könnte Gauss zwar bestimmen, dass Euler die Zahl 11 hat, aber Euler könnte nicht bestimmen, ob Gauss die Zahl 18, 24 oder 28 hat. Wie man oben sehen kann, kommt bei b = 17 nur ein möglicher Wert für a vor. Es stellt sich heraus, dass dieser Wert auch der einzige Wert für b ist, für den das gilt.
Konklusion: Die ausgewählten Zahlen m und n sind 4 und 13.
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