Lösung: Meisterliche Mathematiker

Sei a das Produkt m × n und sei b die Summe m + n.

Aus der ersten Aussage (X: "Ich habe keine Ahnung, was deine Summe ist, Y.") folgt, dass a auf mehr als eine Weise in Faktoren zerlegt werden kann. Wenn X zum Beispiel die Zahl 21 hätte, die das Produkt der Primzahlen 3 und 7 ist, dann würde er sofort wissen, dass Y nur 3 + 7 = 10 als Summe haben konnte.

Aus der zweiten Aussage (Y: "Du erzählst mir nichts Neues. Ich habe schon gewusst, dass du das nicht wusstest.") folgt, dass b sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Das bedeutet auch, dass b nicht gerade ist, weil eine gerade Zahl sich immer als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Wenn zum Beispiel Y die Zahl 10 hätte, die sich darstellen lässt als 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 oder 5 + 5, dann hätte Y sich nicht sicher sein können, dass X seine Summe nicht herausfinden konnte, weil X vielleicht die Zahl 3 × 7 = 21 haben könnte und sofort die Zahl von Y herausfinden könnte.

Es bleibt also nur eine begrenzte Anzahl von Möglichkeiten für die Zahl b, die Y erhalten hat: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 (für all diese Zahlen gilt, dass wenn man 2 davon abzieht, eine Nicht-Primzahl übrig bleibt; alle geraden Zahlen machen nicht mit, und alle ungeraden Zahlen, die man als eine Primzahl plus 2 schreiben kann, machen auch nicht mit). X weiß also, dass Y eine dieser Zahlen hat. Es gibt 659 Kombinationen von m und n, mit denen diese Zahlen als Summe hergestellt werden können. Zu all diesen Kombinationen gehören natürlich auch Produkte.

Beispielsweise haben wir hier die Fälle b = 11 und b = 17 ausgearbeitet. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass m kleiner ist als n:

Aus der dritten Aussage (X: "Aha! Aber jetzt kenne ich deine Summe, Y!") schließen wir, dass die Zahl a, die X hat, offenbar nur bei einem Wert für b vorkommt. Zum Beispiel, wenn X die Zahl 30 hätte, dann könnte er nicht herausfinden, ob Y die Zahl 11 oder 17 hat. Wie man oben sehen kann, kommt der Wert a = 30 nämlich sowohl bei b = 11 als auch bei b = 17 vor (sowohl 5 × 6 als auch 2 × 15 ist gleich 30). Für die Fälle b = 11 und b = 17 kommt der Wert 30 für a also nicht in Frage. Für die Fälle b = 17 kommen auch die folgenden Werte für a nicht in Frage:

• 42 (auch 2 × 21 = 42 und 2 + 21 = 23 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
• 60 (auch 3 × 20 = 60 und 3 + 20 = 23 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
• 66 (auch 2 × 33 = 66 und 2 + 33 = 35 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
• 70 (auch 2 × 35 = 70 und 2 + 35 = 37 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor),
• 72 (auch 3 × 24 = 72 und 3 + 24 = 27 kommen in der Reihe der möglichen Werte für b vor).

Insgesamt bleiben von den 659 Produkten bei allen möglichen Werten für b nur 336 Produkte übrig, die nur einmal vorkommen. Für die Fälle b = 11 und b = 17 bleiben die folgenden Möglichkeiten übrig:

Aus der vierten Aussage (Y: "Und jetzt kenne ich auch dein Produkt, X!") schließen wir, dass bei der Zahl b, die Y hat, offenbar nur ein Wert für a möglich ist. Wenn X zum Beispiel die Zahl 24 hätte, dann könnte X zwar bestimmen, dass Y die Zahl 11 hat, aber Y könnte nicht bestimmen, ob X die Zahl 18, 24 oder 28 hat. Wie man oben sehen kann, kommt bei b = 17 nur ein möglicher Wert für a vor. Es stellt sich heraus, dass dieser Wert auch der einzige Wert für b ist, für den das gilt.

Konklusion: Die ausgewählten Zahlen m und n sind 4 und 13.

Zurück zum Rätsel