Lösung: Kokosnüsse Knacken

Jeder Matrose lässt ⁴⁄₅(n - 1) Kokosnüsse von dem Haufen mit n Kokosnüssen übrig. Dies führt zu einer schrecklichen Formel für den gesamten Prozess (denn jedes Mal muss eine Kokosnuss entfernt werden, um den Haufen durch 5 teilbar zu machen):

r = ¹⁄₅(⁴⁄₅(⁴⁄₅(⁴⁄₅(⁴⁄₅(⁴⁄₅(p - 1) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1), wobei p die Anzahl der Kokosnüsse im ursprünglichen Haufen ist und r die Anzahl der Kokosnüsse ist, die jeder Matrose bei der letzten Verteilung erhält (was eine ganze Zahl sein muss).

Der Trick besteht darin, die Anzahl der Kokosnüsse im Haufen durch 5 teilbar zu machen, indem man 4 Kokosnüsse hinzufügt. Dies ist möglich, weil man diese 4 Kokosnüsse wieder entfernen kann, nachdem ein Fünftel des Haufens weggenommen wurde: Normalerweise sind ⁴⁄₅(n - 1) Kokosnüsse von einem Haufen mit n Kokosnüssen übrig; jetzt sind ⁴⁄₅(n + 4) = ⁴⁄₅(n - 1) + 4 Kokosnüsse von einem Haufen mit n + 4 Kokosnüssen übrig. In der letzten Stufe sind ¹⁄₅(n + 4) = ¹⁄₅(n - 1) + 1 Kokosnüsse von einem Haufen mit n + 4 Kokosnüssen übrig. Auf diese Weise bleibt die Anzahl der Kokosnüsse im Haufen während des gesamten Prozesses durch 5 teilbar. Wir suchen also nach einem p, für das Folgendes gilt:

r + 1 = ¹⁄₅ × ⁴⁄₅ × ⁴⁄₅ × ⁴⁄₅ × ⁴⁄₅ × ⁴⁄₅ × (p + 4) = (4⁵ / 5⁶) × (p + 4), wobei r eine ganze Zahl sein muss.

Die kleinste (p + 4), für die das Obige gilt, ist 5⁶. Also gab es p = 5⁶ - 4 = 15621 Kokosnüsse im ursprünglichen Haufen.

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