Antwoord op: Ladder Laantje

Definieer de volgende variabelen (zie de onderstaande figuur):

• x is de hoogte waarop de ladder van 2 meter de muur van het steegje raakt;
• y is de hoogte waarop de ladder van 3 meter de muur van het steegje raakt;
• a is de horizontale afstand tussen het punt waar de ladders elkaar kruisen en de muur waartegen de ladder van 2 meter staat;
• b is de horizontale afstand tussen het punt waar de ladders elkaar kruisen en de muur waartegen de ladder van 3 meter staat;
• w is de breedte van het steegje (gelijk aan a+b);
• h is de hoogte waarop de ladders elkaar kruisen (1 meter).

Vanwege de gelijkvormigheid van driehoeken geldt dat

x / w = h / b

en

y / w = h / a

dus

b = (w × h) / x

en

a = (w × h) / y.

Gecombineerd met

a + b = w

geeft dit

(w × h) / y+(w × h) / x = w

waaruit volgt dat

h × x + h × y = x × y

op basis waarvan we concluderen dat

y = (h × x) / (x - h).

Vanwege de stelling van Pythagoras geldt dat

w = √(3² - y²) = √(9 - y²)

en

w = √(2² - x²) = √(4 - x²).

Het combineren van deze twee vergelijkingen geeft

9 - y² = 4 - x²

dus

y² - x² = 5.

Gecombineerd met

y = (h × x) / (x - h)

en h = 1 levert dit het volgende op:

(x / (x - 1) )² - x² = 5.

Het oplossen van deze vergelijking geeft het volgende resultaat:

x = 1/2 + (√(c) + √( (24 × √2 / √(c) ) - c - 14) ) / (2 × √2)

waarbij

c = 2 × (d + (25 / d) - 7) / 3

en

d = (395 + 60 × √39)^1/3.

En omdat w = √(4 - x²), vinden we dat de breedte van het steegje 1,231185724... meter is.

Het is interessant om op te merken dat er combinaties bestaan waarbij niet alleen de ladderlengtes en de hoogte waarop de ladders elkaar kruisen gehele getallen zijn, maar ook de breedte van het steegje een geheel getal is. De combinatie met de kleinste waarden waarvoor dat het geval is, is de volgende:

• korte ladder: 70,
• lange ladder: 119,
• hoogte waarop de ladders kruisen: 30,
• breedte van het steegje: 56.

Terug naar de puzzel