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Lösung: Das Truel

Die Antwort ist C.

Folgendes ist gegeben:

Wir werden die Notation P(S,XYZ) verwenden für die Wahrscheinlichkeit, dass S überlebt, wenn die aktuelle Schussreihenfolge XYZ ist.

Berechne zunächst die Überlebenschancen, wenn nur noch zwei Personen übrig sind.

Schussreihenfolge Überlebenschance A Überlebenschance B Überlebenschance C Erklärung
AB P(A,AB) = 1 P(B,AB) = 0 P(C,AB) = 0 A verfehlt nie.
AC P(A,AC) = 1 P(B,AC) = 0 P(C,AC) = 0 A verfehlt nie.
BA P(A,BA) = 1/5 P(B,BA) = 4/5 P(C,BA) = 0 P(A,BA) = P(B verfehlt) × P(A,AB) = 1/5.
P(B,BA) = P(B trifft) + P(B verfehlt) × P(B,AB) = 4/5.
BC P(A,BC) = 0 P(B,BC) = 8/9 P(C,BC) = 1/9 P(B,BC) = P(B trifft) + P(B verfehlt) × P(C verfehlt) × P(B,BC) = 4/5 + 1/5 × 1/2 × P(B,BC), also P(B,BC) = 8/9.
P(C,BC) = P(B verfehlt) × P(C trifft) + P(B verfehlt) × P(C verfehlt) × P(C,BC) = 1/5 × 1/2 + 1/5 × 1/2 × P(C,BC), also P(C,BC) = 1/9.
CA P(A,CA) = 1/2 P(B,CA) = 0 P(C,CA) = 1/2 P(A,CA) = P(C verfehlt) = 1/2.
P(C,CA) = P(C trifft) = 1/2.
CB P(A,CB) = 0 P(B,CB) = 4/9 P(C,CB) = 5/9 P(B,CB) = P(C verfehlt) × P(B trifft) + P(C verfehlt) × P(B verfehlt) × P(B,CB) = 1/2 × 4/5 + 1/2 × 1/5 × P(B,CB), also P(B,CB) = 4/9.
P(C,CB) = P(C trifft) + P(C verfehlt) × P(B verfehlt) × P(C,CB) = 1/2 + 1/2 × 1/5 × P(C,CB), also P(C,CB) = 5/9.

Berechne nun die Überlebenschance für drei Personen. Dies geschieht, indem man die Überlebenschance des ersten Schützen im Falle der vier möglichen Strategien betrachtet, aus denen er wählen kann. Die besten strategischen Entscheidungen sind fettgedruckt.

Schussreihenfolge Überlebenschance beim Schießen auf A Überlebenschance beim Schießen auf B Überlebenschance beim Schießen auf C Überlebenschance beim absichtlichen Verfehlen Schlussfolgerung
ABC 0 P(A trifft) × P(A,CA) + P(A verfehlt) × P(A,BCA) = 1/2 P(A trifft) × P(A,BA) + P(A verfehlt) × P(A,BCA) = 1/5 P(A,BCA) < 1/2
(denn B wird sicher auf A schießen, weil P(B,AB) = 0!)		 Daher schießt A auf B, was bedeutet, dass:
P(A,ABC) = 1/2,
P(B,ABC) = 0, und
P(C,ABC) = P(C,CA) = 1/2
ACB 0 P(A trifft) × P(A,CA) + P(A verfehlt) × P(A,BCA) = 1/2 P(A trifft) × P(A,BA) + P(A verfehlt) × P(A,BCA) = 1/5 P(A,CBA) < 1/2
(denn B wird sicher auf A schießen, weil P(B,ABC) = 0!)		 Daher schießt A auf B, was bedeutet, dass:
P(A,ACB) = 1/2,
P(B,ACB) = 0, und
P(C,ACB) = P(C,CA) = 1/2
BAC P(B trifft) × P(B,CB) + P(B verfehlt) × P(B,ACB) = 16/45 0 P(B trifft) × P(B,AB) + P(B verfehlt) × P(B,ACB) = 0 P(B,ACB) = 0 Daher schießt B auf A, was bedeutet, dass:
P(B,BAC) = 16/45,
P(A,BAC) = P(B verfehlt) × P(A,ACB) = 1/10, und
P(C,BAC) = P(B trifft) × P(C,CB) + P(B verfehlt) × P(C,ACB) = 49/90
CAB P(C trifft) × P(C,BC) + P(C verfehlt) × P(C,ABC) = 11/36 P(C trifft) × P(C,AC) + P(C verfehlt) × P(C,ABC) = 1/4 0 P(C,ABC) = 1/2 Daher muss C absichtlich verfehlen ("in die Luft" schießen), was bedeutet, dass:
P(C,CAB) = 1/2,
P(A,CAB) = P(A,ABC) = 1/2, und
P(B,CAB) = P(B,ABC) = 0
BCA P(B trifft) × P(B,CB) + P(B verfehlt) × P(B,CAB) = 16/45 0 P(B trifft) × P(B,AB) + P(B verfehlt) × P(B,CAB) = 0 P(B,CAB) = 0 Daher schießt B auf A, was bedeutet, dass:
P(B,BCA) = 16/45,
P(A,BCA) = P(B verfehlt) × P(A,CAB) = 1/10, und
P(C,BCA) = P(B trifft) × P(C,CB) + P(B verfehlt) × P(C,CAB) = 49/90
CBA P(C trifft) × P(C,BC) + P(C verfehlt) × P(C,BAC) = 59/180 P(C trifft) × P(C,AC) + P(C verfehlt) × P(C,BAC) = 49/180 0 P(C,BAC) = 49/90 Daher muss C absichtlich verfehlen ("in die Luft" schießen), was bedeutet, dass:
P(C,CBA) = 49/90,
P(A,CBA) = P(A,BAC) = 1/10, und
P(B,CBA) = P(B,BAC) = 16/45

Dies ergibt die folgenden Überlebenschancen für A, B und C:

Schussreihenfolge Überlebenschance von A Überlebenschance von B Überlebenschance von C
ABC P(A,ABC) = 1/2 P(B,ABC) = 0 P(C,ABC) = 1/2
ACB P(A,ACB) = 1/2 P(B,ACB) = 0 P(C,ACB) = 1/2
BAC P(A,BAC) = 1/10 P(B,BAC) = 16/45 P(C,BAC) = 49/90
CAB P(A,CAB) = 1/2 P(B,CAB) = 0 P(C,CAB) = 1/2
BCA P(A,BCA) = 1/10 P(B,BCA) = 16/45 P(C,BCA) = 49/90
CBA P(A,CBA) = 1/10 P(B,CBA) = 16/45 P(C,CBA) = 49/90
Gesamte Überlebenschancen (Summe der Chancen geteilt durch 6) 27/90 16/90 47/90

Fazit: C hat die beste Chance (47/90), das Duell zu überleben.


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