Lösung: Schmelzende Schneebälle

Sei r₁(t) der Radius des kleineren Balls (Ball 1) zu einem Zeitpunkt t. Sei r₂(t) der Radius des größeren Balls (Ball 2) zu einem Zeitpunkt t.

Sei r₀ = r₁(0).

Dann gilt: r₂(0) = 2 × r₀. Die Oberfläche A_i(t) des Balls i zu einem Zeitpunkt t ist gleich 4 × π × (r_i(t))². Das Volumen V_i(t) des Balls i zu einem Zeitpunkt t ist gleich ⁴⁄₃ × π × (r_i(t))³.

Es gilt: d V_i(t) / dt = - k × A_i(t).

Das führt zu:

d (⁴⁄₃ × π × (r_i(t))³) / dt = - k × (4 × π × (r_i(t))²)

für einen bestimmten Schmelzfaktor k, der unabhängig von i ist. Das ergibt:

4 × π × (r_i(t))² × (d r_i(t) / dt) = - k × 4 × π × (r_i(t))²

Also haben wir:

(d r_i(t) / dt) = - k

und

r_i(t) = r_i(0) - k × t.

Angenommen, dass zu dem Zeitpunkt t_h das halbe Volumen von Ball 2 geschmolzen ist. Dann gilt:

⁴⁄₃ × π × (r₂(t_h))³ = ½ × ⁴⁄₃ × π × (r₂(0))³

Das kann vereinfacht werden zu:

(r₂(t_h))³ = ½ × (r₂(0))³

und

(2 × r₀ - k × t_h)³ = 4 × (r₀)³.

Dann gilt: k × t_h = 2 × r₀ - 4^(⅓) × r₀.

Zu dem Zeitpunkt t_h gilt für den kleinen Ball (Ball 1):

r₁(t_h) = r₀ - k × t_h = r₀ - (2 × r₀ - 4^(⅓) × r₀) = 4^(⅓) × r₀ - r₀ = (4^(⅓) - 1) × r₀.

Das Volumen von Ball 1 ist zu diesem Zeitpunkt:

V₁(t) = ⁴⁄₃ × π × (r₁(t))³ = ⁴⁄₃ × π × ((4^(⅓) - 1) × r₀)³ = (⁴⁄₃ × π × r₀³) × (4^(⅓) - 1)³ = (4^(⅓) - 1)³ × V₁(0).

Das Volumen von Ball 1 ist zu diesem Zeitpunkt also nur noch (4^(⅓) - 1)³ × 100 % des ursprünglichen Volumens. Das sind ungefähr 20,27 %.

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