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Lösung: Zugängliche Zimmer

Du hast wahrscheinlich bemerkt dass du, wie du auch herumspazierst, mindestens eine Tür nachlast! Es zeigt sich unmöglich einen Spaziergang durch alle Zimmer zu machen und dabei genau einmal durch jede Tür zu gehen. Der Beweis findest du hier unten.

Wir betrachten den Raum außer dem Haus auch als ein Zimmer. Also, es gibt insgesamt sechs Zimmer. Nimm an dass du einen Spaziergang machst und dabei genau einmal durch jede Tür gehst.

Du gehst aus dem ersten Zimmer. Du gehst in das nächste Zimmer ein und gehst wieder aus diesem Zimmer. Du gehst in das nächste Zimmer ein und gehst wieder aus diesem Zimmer, und so weiter. Bis zum letzten Zimmer, in welches du nur eingehst.

Lassen wir mal zählen wie oft du in ein Zimmer ein und ausgehst. Jedes Zimmer, in welchen du nicht anfängst und endest, gehst du gleich oft ein und aus. Deshalb müssen diese Zimmer eine gerade Zahl der Türen haben.

Wenn du in demselben Zimmer anfängst und endest, dann gehst du auch dieses Zimmer gleich oft ein und aus. Also, ist auch die Zahl der Türen dieses Zimmers dann gerade.

Wenn du in verschiedenen Zimmer anfängst und endest, dann gehst du das erste Zimmer einmal öfter aus und gehst du das letzte Zimmer einmal öfter ein. Also, diese Zimmer müssen dann eine ungerade Zahl der Türen haben.

Zusammengefasst, wenn es möglich wäre ein Spaziergang durch alle Zimmer zu machen und dabei genau einmal durch jede Tür zu gehen, dann muss eine der folgende zwei Situationen gelten:

  • Alle Zimmer haben eine gerade Zahl der Türen.
  • Genau zwei Zimmer haben eine ungerade Zahl der Türen.

Es gibt jedoch vier Zimmer mit einer ungeraden Zahl der Türen (drei Zimmer in dem Haus, und der Raum außer dem Haus, welcher wir auch als ein Zimmer betrachten). Konklusion: es ist nicht möglich ein Spaziergang durch alle Zimmer zu machen und dabei genau einmal durch jede Tür zu gehen.

Nur wenn wir dafür sorgen dass nur zwei Zimmer eine ungerade Zahl der Türen haben, zum Beispiel wenn man eine Türe zufügt, ist es möglich ein Spaziergang durch alle Zimmer zu machen und dabei genau einmal durch jede Tür zu gehen. In der Figur hierunten haben nur ein Zimmer und der Raum außer dem Haus eine ungerade Zahl der Türen.

Lösung

Wenn wir dafür sorgen dass alle Zimmer eine gerade Zahl der Türen haben, zum Beispiel wenn man noch eine Türe zufügt, ist es möglich einen ganzen Rundgang durch alle Zimmer zu machen (wobei man in demselben Zimmer anfängt und endet):

Lösung



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