Lösung: Lehnende Leiter
Die untenstehenden Figur rechts stellt die Lage dar.
Sei a die Länge der Linie AD, und b die Länge der Linie CF.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt dass:
a : 1 = 1 : b
also
ab = 1.
Laut des pythagoreischen Lehrsatzes gilt dass
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2
also
(a + 1)2 + (1 + b)2 = 42
was wir können umschreiben zu
a2 + 2 + b2 + 2(a + b) = 16.
Wenn wir jetzt Gebrauch machen der Tatsache ab=1, also 2=2ab, dann bekommen wir:
a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) = 16
was wir können umschreiben zu
(a + b)2 + 2×(a + b) - 16 = 0.
Weil wir wissen dass a+b größer ist als 0, können wir mit Hilfe der a-b-c Formel (Mitternachtsformel) finden dass
a + b = sqrt(17) - 1.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt dass:
a : 1 = 1 : b
also
b = 1 / a.
Wir wissen jetzt dass
a + 1/a = sqrt(17) - 1
also
a2 + ( 1 - sqrt(17) )×a + 1 = 0.
Wir wissen dass a größer ist als 0 und deswegen können wir mit Hilfe der a-b-c Formel (Mitternachtsformel) die folgende zwei Lösungen für a finden:
1/2×( sqrt(17) - 1 + sqrt( ( 1 - sqrt(17) )2 - 4 ) ) ≈ 2,76
1/2×( sqrt(17) - 1 - sqrt( ( 1 - sqrt(17) )2 - 4 ) ) ≈ 0,36
Die Leiter kommt noch 1 Meter höher, also zirka 3,76 oder 1,36 Meter. In der Figur können wir aber sehen dass nur die Antwort 3,76 korrekt sein kann.
Konklusion: die Leiter sie berührt die Mauer auf zirka 3,76 Meter.
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