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Lösung: Lehnende Leiter

Ladder Die Figur rechts stellt die Lage dar.

Sei a die Länge der Linie AD, und b die Länge der Linie CF.

Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt dass:

a : 1 = 1 : b

also

ab = 1.

Laut des pythagoreischen Lehrsatzes gilt dass

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2

also

(a + 1)2 + (1 + b)2 = 42

was wir können umschreiben zu

a2 + 2 + b2 + 2(a + b) = 16.

Wenn wir jetzt Gebrauch machen der Tatsache ab=1, also 2=2ab, dann bekommen wir:

a2 + 2ab + b2 + 2(a + b) = 16

was wir können umschreiben zu

(a + b)2 + 2×(a + b) - 16 = 0.

Weil wir wissen dass a+b größer ist als 0, können wir mit Hilfe der a-b-c Formel (Mitternachtsformel) finden dass

a + b = sqrt(17) - 1.

Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ADE und EFC gilt dass:

a : 1 = 1 : b

also

b = 1 / a.

Wir wissen jetzt dass

a + 1/a = sqrt(17) - 1

also

a2 + ( 1 - sqrt(17) )×a + 1 = 0.

Wir wissen dass a größer ist als 0 und deswegen können wir mit Hilfe der a-b-c Formel (Mitternachtsformel) die folgende zwei Lösungen für a finden:

1/2×( sqrt(17) - 1 + sqrt( ( 1 - sqrt(17) )2 - 4 ) ) ≈ 2,76
1/2×( sqrt(17) - 1 - sqrt( ( 1 - sqrt(17) )2 - 4 ) ) ≈ 0,36

Die Leiter kommt noch 1 Meter höher, also zirka 3,76 oder 1,36 Meter. In der Figur können wir aber sehen dass nur die Antwort 3,76 korrekt sein kann.

Konklusion: die Leiter sie berührt die Mauer auf zirka 3,76 Meter.



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