Antwoord op: Vrijdag de Dertiende

In een periode van 400 jaar, wordt de cyclus van weekdagen 1 keer doorlopen (deze periode kan niet korter zijn vanwege de vreemde schrikkeljaarregel; en de periode hoeft niet langer te zijn omdat een periode van 400 jaar, 400 × 365 = 146000 normale dagen heeft plus 100 - 3 = 97 schrikkeldagen, wat 146097 dagen in totaal geeft, wat deelbaar is door 7). We hoeven dus alleen te kijken naar de waarschijnlijkheid in een periode van 400 jaar, bijvoorbeeld de jaren 2001 tot en met 2400.

Als in een normaal jaar 13 januari op weekdag x valt, dan is de verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week als volgt:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2

Als in een schrikkeljaar 13 januari op weekdag x valt, dan is de verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week als volgt:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    3    1    1    2    2    1    2

Voor de daarop opvolgende jaren, verschuift deze verdeling steeds cyclisch 1 plaats op naar rechts voor normale jaren, en 2 plaatsen naar rechts voor schrikkeljaren.

Voor drie normale jaren, gevolgd door een schrikkeljaar, kunnen we nu de verdeling van de 13e dagen berekenen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2   (normaal jaar, niet verschoven)
    2    2    1    1    3    1    2   (normaal jaar, 1 plaats naar rechts verschoven)
    2    2    2    1    1    3    1   (normaal jaar, 2 plaatsen naar rechts verschoven)
 +  2    1    2    3    1    1    2   (schrikkeljaar, 3 plaatsen naar rechts verschoven)
  -----------------------------------
    8    6    6    8    6    7    7   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, niet verschoven)

Voor vier normale jaren vinden we:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2   (normaal jaar, niet verschoven)
    2    2    1    1    3    1    2   (normaal jaar, 1 plaats naar rechts verschoven)
    2    2    2    1    1    3    1   (normaal jaar, 2 plaatsen naar rechts verschoven)
 +  1    2    2    2    1    1    3   (normaal jaar, 3 plaatsen naar rechts verschoven)
  -----------------------------------
    7    7    6    7    6    7    8   (4 normale jaren, niet verschoven)

In vier jaar verschuiven de laatste twee verdelingen 5 plaatsen cyclisch naar rechts. Dus voor een periode van 16 jaar met 4 schrikkeljaar, vinden we:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    8    6    6    8    6    7    7   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, niet verschoven)
    6    8    6    7    7    8    6   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 5 plaatsen naar rechts verschoven)
    6    7    7    8    6    6    8   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 10 plaatsen naar rechts verschoven)
 +  7    8    6    6    8    6    7   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 15 plaatsen naar rechts verschoven)
  -----------------------------------
   27   29   25   29   27   27   28   (16 normale jaren en 4 schrikkeljaren, niet verschoven)

Voor een periode van 100 jaar met 24 schrikkeljaren (de jaren 2001-2100, 2101-2200, en 2201-2300), kunnen we nu de verdeling van de 13e dagen uitrekenen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   27   29   25   29   27   27   28   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, niet verschoven)
   29   25   29   27   27   28   27   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 20 plaatsen naar rechts verschoven)
   25   29   27   27   28   27   29   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 40 plaatsen naar rechts verschoven)
   29   27   27   28   27   29   25   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 60 plaatsen naar rechts verschoven)
   27   27   28   27   29   25   29   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 80 plaatsen naar rechts verschoven)
   27   28   27   29   25   29   27   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 100 plaatsen naar rechts verschoven)
 +  8    7    7    6    7    6    7   (4 normale jaren, 120 plaatsen naar rechts verschoven)
  -----------------------------------
  172  172  170  173  170  171  172   (100 jaar met 24 schrikkeljaren, niet verschoven)

Voor een periode van 100 jaar met 25 schrikkeljaren (de jaren 2301-2400), kunnen we ook de verdeling van de 13e dagen uitrekenen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   27   29   25   29   27   27   28   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, niet verschoven)
   29   25   29   27   27   28   27   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 20 plaatsen naar rechts verschoven)
   25   29   27   27   28   27   29   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 40 plaatsen naar rechts verschoven)
   29   27   27   28   27   29   25   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 60 plaatsen naar rechts verschoven)
   27   27   28   27   29   25   29   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 80 plaatsen naar rechts verschoven)
   27   28   27   29   25   29   27   (16 jaren met 4 schrikkeljaren, 100 plaatsen naar rechts verschoven)
 +  7    8    6    6    8    6    7   (3 normale jaren en 1 schrikkeljaar, 120 plaatsen naar rechts verschoven)
  -----------------------------------
  171  173  169  173  171  171  172   (100 jaar met 25 schrikkeljaren, niet verschoven)

Nu kunnen we de verdeling van de 13e dagen voor de periode van 2001 tot 2400 berekenen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   172  172  170  173  170  171  172   (100 jaren met 24 schrikkeljaren, niet verschoven)
   170  173  170  171  172  172  172   (100 jaren met 24 schrikkeljaren, 124 plaatsen naar rechts verschoven)
   170  171  172  172  172  170  173   (100 jaren met 24 schrikkeljaren, 248 plaatsen naar rechts verschoven)
 + 172  171  173  169  173  171  171   (100 jaren met 25 schrikkeljaren, 372 plaatsen naar rechts verschoven)
  ------------------------------------
   684  687  685  685  687  684  688   (400 jaren, niet verschoven)

Omdat 13 januari 2001 (x in de verdeling) op een zaterdag valt, krijgen we de volgende verdeling van de 13e dagen over de dagen van de week:

Conclusie: de kans dat de 13e van een willekeurige maand een vrijdag is, is het hoogste.

Terug naar de puzzel