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Lösung: Freitag, der Dreizehnte

In einer Periode von 400 Jahre wird der Zyklus der Wochentage einmal durchlaufen (diese Periode kann nicht kurzer sein wegen der sonderbaren Schaltjahrregel; die Periode muss nicht länger sein weil eine Periode von 400 Jahre, 400 × 365 = 146000 normalen Tage hat plus 100 - 3 = 97 Schalttage, was insgesamt 146097 Tage gibt, was teilbar ist durch 7). Wir brauchen also nur die Chance in einer Periode von 400 Jahre zu betrachten, zum Beispiel die Jahre 2001 bis 2400.

Wenn in einem normalen Jahr der 13. Januar auf Wochentag x fällt, dann ist die Verteilung der dreizehnten Tage über den Tagen der Woche wie folgt:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2

Wenn in einem Schaltjahr der 13. Januar auf Wochentag x fällt, dann ist die Verteilung der dreizehnten Tage über den Tagen der Woche wie folgt:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    3    1    1    2    2    1    2

Für die darauffolgenden Jahre verschiebt diese Verteilung immer zyklisch einer Stelle nach rechts für normalen Jahre, und zwei Stellen nach rechts für Schaltjahre.

Für drei normale Jahre gefolgt durch ein Schaltjahr, können wir jetzt die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2   (normales Jahr, nicht verschoben)
    2    2    1    1    3    1    2   (normales Jahr, 1 Stelle nach rechts verschoben)
    2    2    2    1    1    3    1   (normales Jahr, 2 Stellen nach rechts verschoben)
 +  2    1    2    3    1    1    2   (Schaltjahr, 3 Stellen nach rechts verschoben)
  -----------------------------------
    8    6    6    8    6    7    7   (3 normalen Jahre und 1 Schaltjahr, nicht verschoben)

Für vier normale Jahre finden wir:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    2    1    1    3    1    2    2   (normales Jahr, nicht verschoben)
    2    2    1    1    3    1    2   (normales Jahr, 1 Stelle nach rechts verschoben)
    2    2    2    1    1    3    1   (normales Jahr, 2 Stellen nach rechts verschoben)
 +  1    2    2    2    1    1    3   (normales Jahr, 3 Stellen nach rechts verschoben)
  -----------------------------------
    7    7    6    7    6    7    8   (4 normalen Jahre, nicht verschoben)

In vier Jahre verschieben die letzten zwei Verteilungen zyklisch 5 Stellen nach rechts. Für eine Periode von 16 Jahre mit 4 Schaltjahren finden wir deshalb:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
    8    6    6    8    6    7    7   (3 normale Jahre und 1 Schaltjahr, nicht verschoben)
    6    8    6    7    7    8    6   (3 normalen Jahre und 1 Schaltjahr, 5 Stellen nach rechts verschoben)
    6    7    7    8    6    6    8   (3 normalen Jahre und 1 Schaltjahr, 10 Stellen nach rechts verschoben)
 +  7    8    6    6    8    6    7   (3 normalen Jahre und 1 Schaltjahr, 15 Stellen nach rechts verschoben)
  -----------------------------------
   27   29   25   29   27   27   28   (16 normalen Jahre und 4 Schaltjahre, nicht verschoben)

Für eine Periode von 100 Jahre mit 24 Schaltjahren (die Perioden 2001-2100, 2101-2200, und 2201-2300) können wir jetzt die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   27   29   25   29   27   27   28   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, nicht verschoben)
   29   25   29   27   27   28   27   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 20 Stellen nach rechts verschoben)
   25   29   27   27   28   27   29   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 40 Stellen nach rechts verschoben)
   29   27   27   28   27   29   25   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 60 Stellen nach rechts verschoben)
   27   27   28   27   29   25   29   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 80 Stellen nach rechts verschoben)
   27   28   27   29   25   29   27   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 100 Stellen nach rechts verschoben)
 +  8    7    7    6    7    6    7   (4 normalen Jahre, 120 Stellen nach rechts verschoben)
  -----------------------------------
  172  172  170  173  170  171  172   (100 Jahre mit 24 Schaltjahre, nicht verschoben)

Für eine Periode von 100 Jahre mit 25 Schaltjahren (die Periode 2301-2400) können wir auch die Verteilung der dreizehnten Tage berechnen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   27   29   25   29   27   27   28   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, nicht verschoben)
   29   25   29   27   27   28   27   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 20 Stellen nach rechts verschoben)
   25   29   27   27   28   27   29   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 40 Stellen nach rechts verschoben)
   29   27   27   28   27   29   25   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 60 Stellen nach rechts verschoben)
   27   27   28   27   29   25   29   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 80 Stellen nach rechts verschoben)
   27   28   27   29   25   29   27   (16 Jahre mit 4 Schaltjahre, 100 Stellen nach rechts verschoben)
 +  7    8    6    6    8    6    7   (3 normalen Jahre und 1 Schaltjahr, 120 Stellen nach rechts verschoben)
  -----------------------------------
  171  173  169  173  171  171  172   (100 Jahre mit 25 Schaltjahre, nicht verschoben)

Jetzt können wir die Verteilung der dreizehnten Tage für die Periode von 2001 bis 2400 berechnen:

    x   x+1  x+2  x+3  x+4  x+5  x+6
   172  172  170  173  170  171  172   (100 Jahre mit 24 Schaltjahre, nicht verschoben)
   170  173  170  171  172  172  172   (100 Jahre mit 24 Schaltjahre, 124 Stellen nach rechts verschoben)
   170  171  172  172  172  170  173   (100 Jahre mit 24 Schaltjahre, 248 Stellen nach rechts verschoben)
 + 172  171  173  169  173  171  171   (100 Jahre mit 25 Schaltjahre, 372 Stellen nach rechts verschoben)
  ------------------------------------
   684  687  685  685  687  684  688   (400 Jahre, nicht verschoben)

Weil der 13. Januar 2001 (x in die Verteilung) auf einen Samstag fällt, finden wir die folgende Verteilung der dreizehnten Tage über die Tagen der Woche:

Samstag:684/4800
Sonntag:687/4800
Montag:685/4800
Dienstag:685/4800
Mittwoch:687/4800
Donnerstag:684/4800
Freitag:688/4800

Konklusion: die Chance dass der dreizehnte eines Monats ein Freitag ist, ist am größten.



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